Salve a tutti,
Di seguito cercherò di esporre il mio problema sperando di avere finalmente delle risposte chiare che magari possano essere d'aiuto in futuro anche ad altri utenti.

L'anno scorso, e precisamente da Febbraio, ho ottenuto dalla mia azienda che ha sede in Italia, per la quale lavoravo con un contratto a tempo indeterminato Full-time un periodo di aspettativa di 6 mesi da Febbraio a Settembre, per poter svolgere un'aggiornamento professionale in Germania dalla sua partner tedesca.
In questo periodo trascorso in Germania sono stato assunto in prova da quest'ultima e per poter rendere valido il contratto ho dovuto registrare il mio domicilio (Temporaneo) in Germania e ho dovuto sottoscrivere un contratto con una della tante assicurazioni private "Obbligatorie" e precisamente la Techniker Krankenkasse (in breve TK).
Trascorso questo periodo di aspettativa sono tornato in Italia e ho ricominciato regolarmente a lavorare per la mia azienda in Italia, per tutto il mese di Ottobre e Novembre, fino a quando tra le due aziende è stato fatto un accordo per potermi permettere di lavorare per entrambe, rispettivamente per 3 settimane in Germania e per 1 settimana in Italia a decorrere dal 1°Dicembre con un contratto a tempo indeterminato Part-time per entrambe le parti.
A questo punto però il mese di Dicembre mi è arrivata una lettera della TK che mi diceva che dovo pagare per i mesi di Ottobre e Novembre la quota assicurativa (che normalmente viene pagata dall'azienda tedesca in cui si lavora) poichè secondo loro in quel periodo sono stato un lavoratore autonomo a meno che io non riesca a certificare che quel periodo che sono stato in Italia ero coperto da assistenza sanitaria.
Io ho prodotto tutta la documentazione necessaria pensando che sarebbe stata sufficiente: in primo luogo ho scannerizzato la mia tessera sanitaria e la ho inviata, ma ho ricevuto una lettera di risposta nella quale era scritto che non era sufficiente per dedurre il periodo in cui ero assicurato in Italia e in allegato mi hanno spedito un Modello E104; poi dopo un accordo telefonico ho spedito copie delle mie buste paga di Ottobre e Novembre nelle quali risulta la copertura INPS e INAIL ma ho ricevuto di nuovo una lettera nella quale veniva nuovamente ribadito il fatto che non era possibile determinare il periodo nel quale ero assicurato in Italia e mi si invitava a lasciar compilare il Modello E104 alla mia assicurazione sanitaria in Italia per poter determinare con chiarezza questo periodo in cui sono stato in Italia.
A questo punto sono entrato in un vicolo cieco poichè non capisco che tipo di dati e documentazioni pretendono...
Premetto che io sono ancora regolarmente residente in Italia e quindi sotto copertura nazionale italiana e che teoricamente non avrei avuto bisogno della copertura sanitaria tedesca se non per questioni burocratiche contrattuali e che non sono ancora iscritto all'AIRE anche se sotto consiglio delle autorità consolari dovro farlo a breve poichè, da quando è entrato in vigore il mio nuovo contratto, trascorro maggior parte della mia vita in Germania anzichè in Italia.
Spero riusciate a darmi delle preziose informazioni e delucidazioni al riguardo sul modo in cui possa finalmente risolvere questo problema che in termini economici si aggira intorno ai 260€ (quota per i due mesi richiesta dalla TK).

Ringrazio anticipatamente e resto in attesa.